Koordinatensysteme

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Raumbezug ist das wesentliche Kennzeichen geographischer Information. Wie sieht jedoch der Raum aus, auf den sich meine Geodaten beziehen? Wie ist das Koordinatensystem definiert, in das meine Geodaten eingebettet sind? Wie führe ich Geodaten aus verschiedenen Quellen und Koordinatensystemen zusammen?

Dass Objekte auf der Erdoberfläche in unterschiedlicher Art und Weise georeferenziert werden können ist allgemein bekannt. Man denke nur an eine Adressangabe, den Index eines Stadtplanes, Rechts- und Hochwerte auf topographischen Karten, oder auch die Angabe von geographischer Länge und Breite. Schon etwas weniger bekannt dürfte so manchem der Umstand sein, dass selbst eine geographische Längen- und Breitenangabe die Lage eines Punktes auf der Erde nicht eindeutig beschreibt, sofern wichtige Zusatzinformationen zu dieser Koordinatenangabe fehlen. Diese Lektion widmet sich diesen und weiteren Details. Sie bildet die Grundlage für die folgenden beiden Lektionen, nach deren Absolvierung Sie einen fundierten Überblick über die Parameter räumlicher Bezugssysteme (RBS) und deren Anwendung haben werden.

Zugegebenermaßen erfordert diese und die nächsten beiden Lektionen ein gewisses Maß an Abstraktionsvermögen. Doch lassen Sie sich weder davon, noch von den Stimmen die meinen, nur GeodätInnen müssten sich mit derartigen Details auseinandersetzen, beirren. Auch wenn Softwareprodukte und Online-Tools helfen können, ein informierter Umgang mit Geodaten bzw. deren geographischer Referenz ist in der täglichen Arbeit mit GIS unerlässlich.

In einem ersten Teil dieser Lektion nähern wir uns dem Thema der Koordinatensysteme sehr grundlegend an. Über geographische Koordinatensysteme geht der Weg dann weiter zu den verschiedenen Referenzmodellen der Erde, den geodätischen Daten. Die Lektion endet schließlich mit dem Thema der Transformation von Koordinatensystemen mit unterschiedlichem geodätischen Datum.

Lernziele

Nach Bearbeitung dieser Lektion:

  • sind Sie in der Lage, Punkte auf der Erdoberfläche korrekt zu referenzieren.
  • wissen Sie um die Parameter geodätischer Daten und können die jeweils passenden für unterschiedliche Geodatensätze definieren.
  • können Sie Geodaten, die auf verschiedene Modelle der Erde referenzieren, von einem Koordinatensystem in ein anderes transformieren.
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12.1 Koordinatensysteme - Grundlagen

Koordinatensysteme sind Modelle, die mit Hilfe von geordneten Zahlenwerten - den Koordinaten - Positionen im (geographischen) Raum referenzieren.
Dabei müssen Koordinatensysteme

  • die Lage von Objekten auf der komplexen Erdoberfläche eindeutig und widerspruchsfrei beschreiben,
  • mit der physischen Welt möglichst realitätsnah verbunden sein, so dass man sie in der Praxis einfach verwenden kann.

Wahrscheinlich ist die Unterscheidung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten noch aus der Schule bekannt. Weil diese Grundlagen für das weitere Verständnis entscheidend sind, frischen wir das vorhandene Wissen im Folgenden kurz auf.

optionalEinteilung verschiedener Koordinatensysteme

1-dimensionale Koordinatensysteme
Kilometrierung
Positionierung durch Entfernungsmessung ausgehend von einem Nullpunkt. Beispiel: Kilometrierung von Straßen, Gleisen, Flüssen oder Leitungsnetzen

2-dimensionale Koordinatensysteme
Ebene Koordinaten
• Rechtwinkelige Koordinatensysteme
– Kartesische Koordinaten
– Polarkoordinaten
– Rasterkoordinaten
– Bildschirmkoordinaten
• Geodätische, projizierte Landeskoordinaten
Koordinaten auf gekrümmter Fläche
• Mathematisch definiertes Bezugsmodell
– Kugel, Ellipsoid
• Physikalisch definiertes Bezugsmodell
– Geoid
– Astronomische Koordinaten

3-dimensionale Koordiantensysteme
Räumliche Kartesische Koordinaten
• Geozentrisches Koordinatensystem X,Y,Z
Ellipsoidisches Koordinatensystem l, f, H

Relative Koordinatensysteme
Räumliche Beziehung von Objekten zueinander

Diskrete Georeferenzierung
z.B.: Gemeindename, Wohnadresse, Postleitzahl, Zählsprengel etc.

   

Polarkoordinaten

Das vielleicht älteste räumliche Bezugssystem sind die sogenannten "Polarkoordinaten", die sich aus der "subjektiven" Raumwahrnehmung entwickelt haben. Als "Pol" wurde dabei zunächst der individuelle Standort herangezogen, von dem man in eine bestimmte Richtung ging, um nach Zurücklegen einer vorgegebenen Entfernung sein Ziel zu erreichen.

Hinweis

PolarkoordinatenPolarkoordinaten werden ausgehend von einem Bezugspunkt durch Richtungsbeschreibung (Winkel) und Distanzangabe definiert.

   

In GIS verwenden wir Polarkoordinaten immer dann, wenn wir Phänomene lokalisieren, deren relative Lage zu einem ganz bestimmten Bezugspunkt von Bedeutung ist. Dies ist zum Beispiel bei Fragen der Navigation der Fall. Polarkoordinaten sind aber auch die Basis des geographischen Koordinatensystems (Länge, Breite).

Polarkoordinaten

Polarkoordinaten in der Ebene (2D)

Bei dreidimensionalen Polarkoordinaten ist eine zusätzliche Winkelangabe erforderlich.

   

Kartesische Koordinaten

Für kleinere Untersuchungsgebiete eignet sich zur geographischen Lagebestimmung ein einfaches zwei- oder dreidimensionales Achsensystem:

  • Für jede Dimension ist eine Achse vorgesehen,
  • die Achsen stehen rechtwinklig (orthogonal) aufeinander,
  • die Horizontalachsen sind nach Norden und Osten ausgerichtet,
  • die Achse der dritten Dimension (H) fällt mit der Richtung der Schwerkraft zusammen.

Punktkoordinaten, in einem zweidimensionalen System üblicherweise notiert als X,Y, ergeben sich aus deren Senkrechtprojektion auf die Horizontalebene. Höhen entsprechen dem Vertikalabstand zur Horizontalebene.

koordinatensystem

  • Berechnung des Abstands zweier Punkte im Raum (dreidimensionales Koordinatensystem)
  • UmrechnungPolarkoordinaten > kartesische Koordinaten
 

Derartige nach René Descartes Externer Link (1596-1650) als kartesisch bezeichneten Koordinatensysteme kennen wir aus der Schule. Sie sind praktisch, da sich Strecken, Flächen- und Winkelmessungen damit sehr einfach durchführen lassen. Die Erdoberfläche wird in diesem Modell als Fläche und nicht als Kugeloberfläche modelliert, was bei Beschränkung auf kleine Ausschnitte durchaus legitim ist. Kartesische Koordinatensysteme reichen allerdings nicht aus, wenn große Gebiete vermessen oder Koordinaten ("blattschnittfrei") weltweit verwendet werden sollen.
Mit Hilfe von räumlichen Projektionen (dazu später) lassen sich kartesische Koordinatensysteme aus geographischen Koordinatensystemen ableiten.

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12.2 Geographische Koordinatensysteme

Kartesische Koordinatensysteme setzen einen planaren Raum voraus bzw. erzeugen durch Projektion einen solchen. Geographische Koordinatensysteme tragen der gekrümmten Form der Erde Rechnung. Dadurch ergibt sich die Notwendigkeit eines weltweit gültigen gekrümmten Bezugsmodells.

Die Erde als Kugel und das Gradnetz

Zwar ist die Annahme der Erdform als Kugel eine starke geometrische Vereinfachung der Realität, dennoch genügt uns dieses Modell zur Lagebestimmung, solange wir uns auf sehr kleine Maßstäbe (< 1:5 Mio.) oder Übersichtsdarstellungen beschränken. Jeder Punkt der Erdoberfläche lässt sich bei der Verwendung des Kugelmodells mit Hilfe spezieller sphärischer Polarkoordinaten eindeutig bestimmen.

GlobusDie beiden Pfeile im hier dargestellten, "aufgeschnittenen" Modell der Erdkugel treffen sich im Erdmittelpunkt, der den Ursprung des geographischen Koordinatensystems bildet: Der eine Pfeil fällt mit der geographischen Nord-Süd Achse zusammen, die zweite Achse steht senkrecht dazu und zeigt in eine (zunächst) willkürliche Richtung. Die Lage des weißen Punktes ist mit Hilfe zweier Winkelkoordinaten, der geographischen Länge λ (lambda) und geographischen Breite φ (phi), eindeutig festgelegt.

   

Darauf aufbauend wird das Gradnetz über die Erde gespannt. Es besteht aus:

  • 180 gleichabständigen Kreisen, durch deren Mittelpunkt die Polachse senkrecht verläuft. Diese Breitenkreise definieren die Nord-Süd Richtung im Geographischen Koordinatensystem (GKOS) auf und werden vom Äquator weg zu den Polen hin stetig kleiner.
  • 360 gleichabständigen Halbkreisbögen - Meridiane oder Längenkreise genannt - die von Pol zu Pol verlaufen mit der Polachse als gemeinsamen "Durchmesser". Die Meridiane spannen die Ost-West Richtung im GKOS auf.
Globus  

φ und λ sind die Schnittpunktkoordinaten eines Längen- und Breitenkreises. φ wird vom Äquator polwärts, λ von einem - noch zu bestimmenden - Referenzmeridian (= Nullmeridian) aus ost- bzw. westwärts gemessen.

Winkeleinheiten entnimmt man dem 360 Grad-System zur Teilung eines Vollkreises: 1 Grad (°) ist in 60 Minuten ('), eine Minute in 60 Sekunden ('') unterteilt.
Im Vermessungswesen wird im sog. Neugrad-System gerechnet: der Vollkreis ist in 400 gon, 1 gon in 100cgon und 1cgon in 10mgon unterteilt.

   

Breitenkreise (Nord-Süd Richtung)

Breitenkreise Der längste Breitenkreis, der Äquator (lat. "Gleichmacher") teilt die Erde in zwei gleich große Hemisphären, die Nord- und Südhalbkugel. Dies gilt allerdings nur für das Kugelmodell: da die Erde keine ideale Kugelgestalt hat, sind beide Hälften tatsächlich unterschiedlich groß.

Vom Äquator wird nordwärts von 0° bis +90° oder südwärts von 0° bis -90° gezählt. Die üblichen Notationsmöglichkeiten sehen wie im folgenden Beispiel aus:
60°N oder 60° nördl. Breite oder +60°
34°S oder 34° südl. Breite oder -34°
Der Abstand zwischen den parallel verlaufenden Breitengraden entspricht ca. 111 Kilometer.

Der Umfang der Breitenkreise nimmt mit der Entfernung vom Äquator Richtung Norden und Süden ab. Unter Annahme einer gleichmäßigen Kugelform lässt sich der Umfang eines Breitenkreises einfach berechnen:

Beispiel

UBreitenkreis = 2Rπ * cos φ

BreitenkreisumfangBei Annahme eines Erdradius = 6.371 km ergibt sich ein Umfang des 47. Breitengrades ≈ 27.300 km.
Der Erdumfang am Äquator beträgt dahingegen rund 40.000 km.

Wie viele Kilometer müssten Sie bei einer Erdumrundung entlang des Breitengrades Ihres Heimatortes zurücklegen?

Laengenkreise  

Längenkreise (West-Ost Richtung)

Die Ausgangslinie für die West-Ost Richtung festzulegen ist keine einfache Sache, geographische Länge ist letztlich eine Frage der Zeitmessung. Meridiane konvergieren polwärts und entsprechen einem halben Großkreis. Da kein Längenkreis sich - wie der Äquator im Falle der Breitenkreise - durch eine besondere Länge auszeichnet, kam bei der Bestimmung des Nullmeridians eine gewisse Willkür (und jede Menge nationaler Stolz) mit ins Spiel.
Im 19. Jahrhundert wurde der Meridian, der durch Greenwich verläuft als Ursprung der geographischen Längenmessung vereinbart. Einige Länder übernahmen dies - auch aus praktischen Gründen - erst viel später. Nach wie vor sind andere Nullmeridiane als der auf Greenwich bezogene gebräuchlich; vor allem in älteren, nationalen Bezugssystemen.

Nullmeridiane

Der Wertebereich der Längenkreise umfasst 360° und wird unterteilt in 180° westlicher und 180° östlicher Länge. Notiert werden Längenkreise als -1° bis -180° (westl. Länge / W) bzw. +1° bis +180° (östl. Länge / O / E), wobei die beiden Extremwerte identisch sind und der Datumsgrenze entsprechen (mit Einschränkungen).
Der Abstand zwischen den Längenkreisen (Δλ = 1°) ist abhängig von der geographischen Breite. Abhängig von φ, ergibt sich eine Längendifferenz λ1 - λ2 aus der Formel: 2Rπ * cos φ * (λ1° - λ2°) / 360.

  • Der Schnittpunkt zwischen Breiten- und Längenkreis definiert einen Standort auf der Erdoberfläche. Einen Überblick über die geographischen Koordinaten von Orten finden Sie beispielsweise im Getty Thesaurus of Geographic Names. Schlagen Sie dort einmal Ihren Heimat-, oder letzten Urlaubsort nach.
 

Besondere Kreise und Linien

Großkreise

GrosskreiseJeder Schnitt der Erdkugel mit einer gedachten Ebene in zwei gleichgroße Hemisphären definiert einen Großkreis. Sowohl der Äquator als auch jedes gegenüberliegende Meridianpaar, sind Beispiele von Großkreisen. Großkreise sind für die Navigation bedeutend, da auf ihrer Spur die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten ("Orthodrome") auf der Erdoberfläche verläuft. Sie kennen wahrscheinlich die Kartendarstellungen von Großkreisverbindungen aus dem Flugzeug. Vor allem bei der Verbindung zweier Orte, die in ähnlichen Breiten liegen, wird der Unterschied zwischen der Verbindung entlang eines Großkreises bzw. der Breitenlinie plastisch sichtbar.

Flugrouten
Flugrouten entlang von Großkreisen. Achten Sie auf den Unterschied zwischen Flugverbindungen in Ost-West bzw. Nord-Süd Richtung. Auf die Daten können Sie hier Link zugreifen.

optionale VertiefungBerechnung von Entfernungen auf der Kugeloberfläche

Loxodrome

Orthodrome LoxodromeAls Loxodrome zwischen zwei Punkten A und B auf der Erdkugel wird diejenige Kurve bezeichnet, die jeden Meridian in konstantem Winkel schneidet. Dies bedeutet, dass ein Kompass immer in dieselbe - auf den Nord- oder Südpol bezogene - "Richtung" weist. Als Linie konstanten "Navigationskurses" ist die Loxodrome in der See- und Luftfahrt (Kurslinie) nützlich. Anders als entlang von Großkreisen werden Punkte von Loxodrome nicht auf kürzestem Weg verbunden.

Uebung

Übung Loxodrome

   

Dezimalgrad

Anstelle des Grad-Minuten-Sekunden Systems (GMS) werden Koordinaten in GIS meist in Dezimalgrad (DD engl. decimal degree) ausgedrückt, weil diese einfacher zu verarbeiten sind. Achten Sie daher bei der Arbeit mit Koordinatensystemen und Projektionen in GIS stets darauf, welches Eingabeformat erwartet wird!

Die Umrechnung auf Dezimalgrad erfolgt nach folgendem Schema:

DD Umrechnung

Achten Sie bei Gradangaben in einem GIS auch stets auf eine korrekte Interpretation des Kommazeichens!

Video

  • Hören Sie hier den berühmten Lat-Long-Song!

 

Zusammenfassung: Eigenschaften des Gradnetzes und seine Verwendung zur Positionsbestimmung.

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Die Erde als Ellipsoid

Wie bereis erwähnt dient das Modell der Erdfigur als Kugel nur bei sehr kleinen Maßstäben zur Referenzierung von Geodaten. Für präzisere Vermessungen und Karten größerer Maßstäbe greift man auf ein mathematisches Modell der Erdform zurück, dessen Entwicklung bis in das 18. Jahrhundert zurückreicht. Aufgrund der Fliehkraft ihrer Rotation „wölbt" sich die Erde am Äquator nach außen: ihr Durchmesser ist in der Äquatorebene um ca. 1/300 größer als in Richtung der Polachse. Diese abgeplattete Form gibt dem Bezugskörper seinen Namen: das Ellipsoid ist das räumliche Gegenstück zu einer Ellipse.

Ellipsoid

Die Erde ist keine perfekte Kugel sondern eher ein abgeplattetes Ellipsoid.

Den längeren Radius bezeichnet man als große (a), den kürzeren als kleine Halbachse (b). Als Abplattung f einer Ellipse bezeichnet man das Verhältnis (a - b) / a. Dreht sich die Ellipse um eine ihrer Hauptachsen führt dies zum (Rotations)ellipsoid.

Ellipsoidkoordinaten

EllipsoidkoordinatenDie geographische Breite von Punkt P ist der Winkel zwischen der Äquatorialebene und der Ellipsoidnormalen. Punkte P und P1 liegen auf der Ellipsoidnormalen. Die Entfernung P nach P1 ist die Höhe von P1 über dem Ellipsoid. Für die geographische Länge gilt dasselbe wie beim Kugelmodell.
Ellipsoid kartesisch In einigen Fällen - zum Beispiel für manche Berechnungen beim Wechsel des Bezugssystems - wird auch ein geozentrisches Koordinatensystem verwendet. Darunter versteht man ein kartesisches X,Y,Z-Bezugssystem, das seinen Ursprung im Zentrum des Ellipsoids hat.

   

Wichtige Ellipsoide

Rotationsellipsoide sind die Grundlage für Lagekoordinaten einer Landesvermessung. Im Laufe der Zeit sind die Erddimensionen mehrfach berechnet worden und unzählige an regionale Gegebenheiten angepasste Ellipsoide entstanden, von denen die für uns wichtigsten hier aufgeführt sind:

Ellipsoidname
Grosse Halbachse (a) m
Kleine Halbachse (b) m
Abplattung (f)
Exzentrizität e² = (a² - b²) / a²
Region

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Die Erde als Geoid

Während sich Kugel und Ellipsoid zur Festlegung von Objekten im Grundriss eignen, verkompliziert sich die Sache, sobald die dritte Dimension ins Spiel kommt.
Die Erde ist mit ihrer Topographie sowie der ungleichen Verteilung von Mächtigkeit und Dichte ihrer Erdkruste kein gleichmäßiger Körper. Diese Unregelmäßigkeiten führen zu Anomalien im Schwerefeld der Erde, die sich wiederum auf das Meeresoberflächenniveau auswirken. Die resultierende Erdform ist mit „kartoffelartig" recht gut umschrieben, WissenschaftlerInnen und GeodätInnen sprechen vom "Geoid", dem physikalischen Modell der Erde.

  • Exakte Meereshöhe an relevanten Referenzstationen: PSMSL
 

GeoidDas Geoid ist jene Niveaufläche (Äquipotentialfläche) des Erdschwerefeldes, die in mittlerer Höhe des Meeresspiegels verläuft. Es ist die natürliche Bezugsfläche der Höhenmessung und durch wichtige Pegel an Küstenstationen realisiert - z.B. Normalnull (NN) vom Pegel bei Amsterdam oder der Mole von Triest.

Das Geoid ist die nur näherungsweise geometrisch beschreibbare Gesamtform, deren Oberfläche dem - im Bereich der Landmassen durchgehend gedachten - mittleren Meeresoberflächenniveau entspricht.

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