Projektionen

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VideoKurzvideo: Wozu Orangenschalen auch noch zu gebrauchen sind. Das Problem der Verebnung von Geodaten.
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Auf den ersten Blick erscheint es ausreichend, sich bei der Arbeit mit Geodaten auf das geographische Koordinatensystem zu beschränken. Immerhin lässt sich damit die Lage jedes Punktes auf der Erdoberfläche eindeutig beschreiben. Bei näherer Betrachtung wird jedoch deutlich, dass man um die Thematik der kartographischen Projektion nicht herumkommt:
Das Problem, die gekrümmte dreidimensionale Erdoberfläche als Ebene abbilden zu müssen, tritt bei jeder gebräuchlichen Art der Visualisierung von Geodaten auf - sowohl bei der Darstellung auf dem Bildschirm, als auch bei der Produktion analoger Karten aus Papier. Eine Ausnahme stellt lediglich die Visualisierung kleinmaßstäbiger Inhalte am Globus dar.

OrangeAus dem einleitenden Kurzvideo wird deutlich, dass bei jeder Projektion Abstriche hinsichtlich der "Originaltreue" gemacht werden müssen, wobei je nach Verwendungszweck der Darstellung bzw. Lage und Größe des Untersuchungsgebietes einzelne Projektionen stark unterschiedliche Eignungen aufweisen. Das Wissen über gängige Projektionen und deren Eignung zählt zu den zentralen Voraussetzungen bei der Arbeit mit GIS.

In diesem Kapitel werden folgende Themen behandelt:

Lernziele

Nach Bearbeitung dieser Lektion ...

  • kennen Sie die grundlegenden Projektionsmethoden samt den jeweiligen Vor- und Nachteilen.
  • können Sie Projektionen entsprechend den Anforderungen parametrisieren.
  • sind Sie in der Lage, die Eignung von Projektionen hinsichtlich ihrer Eigenschaften abzuschätzen.
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13.1 Typisierung von Projektionen

Im Laufe der Zeit wurden unterschiedliche Methoden entwickelt, um Koordinatensysteme der gekrümmten Erdoberfläche in die Ebene zu transformieren. Vereinfachend kann man sich viele dieser Transformationen als ein, an eine Projektionsfläche projiziertes Bild vorstellen, welches bei der Durchleuchtung einer "gläsernen Erde" entstehen würde. So gesehen ist der Begriff der "Projektion" unmittelbar "einleuchtend".

Projektion Durchleuchtung

Schalten Sie doch mal das Licht ein!

Auch wenn das gedankliche Modell einer "durchleuchteten Erde" für das konzeptionelle Verständnis gute Dienste leistet, handelt es sich bei Kartenprojektionen immer um mathematische Algorithmen, mit denen eine Umrechnung von geographischen in planare Koordinaten erfolgt.

Anders als in der Darstellung oben entspricht die Projektionsfläche häufig keiner Ebene, sondern wird in Form eines Zylinders oder Kegels um die Erde "herumgewickelt". In Analogie zum dabei entstehenden geometrischen Körper lassen sich Projektionen in vier große "Familien" gliedern:

 

Azimutalprojektion

 

Azimutalprojektionen

Bei azimutalen Abbildungen wird das Gradnetz der Erde auf eine Ebene übertragen, die normalerweise dem Nord- oder Südpol als Tangentialebene anliegt. Das sich bei Berührung im Pol ergebende Gradnetzbild zeigt konzentrische Breitenkreise und sternförmig vom Zentrum ausgehende Meridiane. Die von den Längenkreisen eingeschlossenen Winkel (Azimut) des Abbilds sind mit denen des Originals (Erdkörper) identisch.
Azimutalprojektionen werden selten zur Darstellung der gesamten Erde verwendet. Sie eignen sich jedoch zur Darstellung einzelner Hemisphären oder Teilen davon.

 

Zylinderprojektion

 

Zylinderprojektionen

Dabei handelt es sich um Projektionen in einen Zylindermantel, der anschließend zu einer Ebene "abgerollt" wird. In seiner normalen Lage berührt der Zylinder die Erde am Äquator. In diesem Fall ergibt das Bild der projizierten Längen- und Breitenkreise jeweils parallele Linien, die sich im rechten Winkel schneiden.
Zylinderprojektionen eignen sich sowohl zur Darstellung der gesamten Erde, als auch für großmaßstäbige Abbildungen kleinerer Gebiete.
Die amtlichen Grundkarten Österreichs, Deutschlands und der Schweiz beruhen auf Zylinderprojektionen.

 

Kegelprojektion

 

Kegelprojektionen

Konische Abbildungen lassen sich durch einen über die Erde gestülpten Kegel veranschaulichen, der von seiner Spitze zum Rand hin aufgeschnitten und ausgebreitet wird. Das Bild der Gradnetzlinien zeigt zur Kegelspitze hin konvergierende Meridiane und gekrümmte Breitenkreise. Alle Linien schneiden sich - wie bei den azimutalen und zylindrischen Abbildungen - im rechten Winkel.
Kegelprojektionen werden vor allem in mittleren bis kleinen Maßstabsbereichen angewendet. Besonders gut eignen sie sich für Gebiete der mittleren Breiten mit großer Ost-West-Erstreckung (Übersichtskarte von Österreich 1:500.000, Übersichtskarte der USA).

Unechte Projektionen  

Unechte Projektionen

Unechte Projekionen sind mit der Analogie der „durchleuchteten Erde" nur unzureichend beschreibbar, da sie sich auf keine reguläre geometrische Abbildungsfläche beziehen. Sie werden vor allem für Planisphären, also planare Abbildungen der gesamten Erde verwendet. Nachdem sich die meisten GIS-Anwendungen in größeren Maßstabsbereichen bewegen, spielen sie im Kontext von GIS eine untergeordnete Rolle.

Innerhalb dieser Projektionsfamilien lassen sich Projektionen noch nach einigen weiteren Kriterien kategorisieren, nämliche nach der Projektionslage, der Frage, ob der Projektionskörper die Erde schneidet oder berührt und nach der Abbildungsart.

Projektionslage

Die Abbildungsqualität einer Projektion ist dort am höchsten, wo die Projektionsfläche die Erde berührt. So bildet eine Azimutalprojektion, die die Erde am Nordpol berührt, polnahe Gebiete wesentlich besser ab als äquatoriale Bereiche. Demgegenüber bewährt sich eine Zylinderprojektion, die den Äquator berührt, besser für äquatoriale als für polare Gebiete.

FrageWarum beruhen aber unsere sehr genauen, großmaßstäbigen Karten auf einer Zylinderprojektion? Immerhin sind wir ein gutes Stück vom Äquator entfernt!

Um einen beliebigen (kleinen) Teil der Erdoberfläche in hoher Qualität abzubilden, verändert man die Lage des Projektionskörpers relativ zur Erde. So sind etwa mit einem "liegenden" Zylinder auch Gebiete außerhalb der Äquatorzone ausreichend genau darstellbar. Man unterscheidet drei Projektionslagen:

  • Normalachsige Lage (normal aspect): Die Achse des Projektionskörpers entspricht der Erdachse.
  • Querachsige oder transversale Lage (transverse aspect): Die Achse des Projektionskörpers steht rechtwinkelig zur Erdachse.
  • Schiefachsige oder zwischenständige Lage (oblique aspect): Die Achse des Projektionskörpers steht schief zur Erdachse.

Daneben werden bei Azimutalprojektionen noch die Begriffe der polaren und der äquatorialen Lage verwendet, wobei die polare der normalen und die äquatoriale der transversalen Lage entspricht. Natürlich ändert sich mit der Veränderung der Lage auch das abgebildete Gradnetz ganz beträchtlich.

Schnittabbildung

Schneidende Projektionen
(in normaler Lage)

 

Berührung vs. Schnitt

Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal "echter" Projektionen liegt darin, ob die Projektionsfläche den Erdkörper berührt (tangent case) oder schneidet (secant case).
Um die Abbildungsqualität bei der Darstellung größerer Gebiete zu erhöhen, lässt man den Projektionskörper die Erdoberfläche durchdringen (schneiden). Für azimutale Abbildungen entsteht nun anstelle eines Berührungspunktes ein Schnittkreis, bei Zylinder- und Kegelprojektionen anstelle einer Berührungslinie jeweils zwei Schnittkreise.

Direkt an den Schnittkreisen ist die geometrische Qualität optimal, sie nimmt jedoch zur Mitte und zu den Rändern hin ab. Mit schneidenden Projektionskörpern gelingt es, die Größe des darstellbaren Gebietes bei gleichbleibender Darstellungsqualität zu verdoppeln (im Vergleich zu einer berührenden Projektion).

   

Abbildungsart

Selbst bei gleicher Projektionsfamilie und Lage können die entstehenden Kartennetzentwürfe sehr unterschiedlich ausfallen, da das Gradnetz der Erde auf verschiedene Art und Weise auf die Projektionsfläche "aufgetragen" werden kann. Somit lässt sich "Abbildungsart" als projektionsspezifischer "Strahlengang" verstehen, nach dem die Erde "durchleuchtet" wird.
Verschiedene Abbildungsarten haben Kartennetzentwürfe mit unterschiedlichen Eigenschaften zur Folge. So lassen sich etwa bei einer gnomonischen Projektion Großkreise im Kartenbild als Gerade darstellen, während eine orthographische Projektion den Eindruck vermittelt, die Erde vom Weltall aus zu sehen.

HinweisAchtung: Die Analogie zur unterschiedlich positionierten Lichtquelle trifft zwar auf das dargestellte Beispiel (echt perspektivische Projektionen) zu, bei vielen anderen Projektionen ist es in dieser Form aber nicht gültig. Um den zugrundeliegenden mathematischen Algorithmen solcher Projektionen gerecht zu werden, müsste man im Denkmodell der "durchleuchteten Erde" auch "gekrümmte" Projektionsstrahlen zulassen.

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13.2 Parametrisierung von Projektionen

Mit jeder Georeferenzierungs-Komponente von GI-Software lassen sich die Eigenschaften von Projektionen parametrisieren. Hierbei ist zu beachten, ob wir nur das Bild der Geodaten "on-the-fly" oder aber den Datensatz dauerhaft verändern wollen. In diesem Abschnitt soll eine kurze Übersicht über die wichtigsten Fachtermini im Zusammenhang mit Projektionseinstellungen gegeben werden:

Bezugsmeridian
Projektion (Robinson) mit Bezugsmeridian 0° östl. von Greenwich.
 

Bezugsmeridian (Central Meridian, Longitude of Origin)

Der geographische Längenkreis, auf den sich der Ursprung der Projektion bezieht, wird im Englischen als Central Meridian oder Longitude of Origin bezeichnet. Im resultierenden Kartennetzentwurf liegt dieser Meridian in der Blattmitte. Der Projektionsursprung ist auch der Bezugspunkt bei der Angabe von x und y-Koordinaten in der Projektion.

Bezugsbreite
Projektion (Orthographisch) mit der Ursprungsbreite 45°.
 

Ursprungsbreite (Reference Latitude, Latitude of Origin)

Darunter versteht man die geographische Breite des Ursprungs der Projektion. Außer bei Azimutalprojektionen bewirkt eine Veränderung dieses Wertes keine Veränderung im Kartenbild, lediglich der Bezugspunkt (Koordinatenursprung) der y-Koordinatenangabe ändert sich entsprechend.
Bei Azimutalprojektionen beeinflusst dieser Parameter die Lage der Projektionsfläche und wirkt sich enorm auf das Kartenbild aus. Beispielsweise bedeutet die Einstellung 45°, dass die Projektionsebene die Erdoberfläche am 45. Breitengrad berührt.

 

Schnittkreise

 

Schnittkreise (Standard Parallel, Latitude of True Scale)

Geographische Breite eines Schnitt- oder Berührkreises bei Kegel- oder Zylinderprojektionen in normaler Lage. Bei Definition einer schneidenden Kegelprojektion verläuft der Teil des Kegels zwischen den beiden Schnittkreisen "unter" der Erde. Für berührende Kegel setzt man für beide Schnittkreise denselben Wert ein. Bei Zylinderprojektionen in normaler Lage wird der Schnittkreis (nördl. und südl. Breite sind ident, daher gibt es nur einen Standard Parallel) auch als Latitude of True Scale bezeichnet. Dieser Begriff rührt daher, dass sich die Maßstabsangabe auf die Schnittkreise bezieht. Zwischen den Schnittkreisen ist der Maßstab in Ost-West Richtung kleiner, gegen die Zylinderränder hin nimmt er zu.

   

Verkürzungsfaktor (Scale Factor)

Der Verkürzungsfaktor drückt bei einer transversalen Zylinderprojektion das Verhältnis der Länge des halben Zylinderumfangs zur Länge des Bezugsmeridians aus. Ist der Wert 1, sind der halbe Zylinderumfang und die Länge des Bezugsmeridians gleich lang: der Zylindermantel berührt die Erdoberfläche am Bezugsmeridian. Bei einem Scale Factor unter 1 entsteht durch die Verkürzung des Zylinderumfangs im Verhältnis zum Erdumfangs ein Schnittzylinder.
Verkuerzungsfaktoren Durch die Wahl eines Verkürzungsfaktors lässt sich also indirekt der Abstand der Schnittkreise steuern. Ein gängiger Wert, der bei UTM verwendet wird, ist beispielsweise 0,9996. Bei diesem Faktor ergibt sich ein Schnittkreisabstand von ca. 360 km (also je 180 km zwischen Bezugsmeridian und einem Schnittkreis)

   

False Easting bzw. False Northing (False X / False Y)

Dabei handelt es sich um Konstanten, die bei kartesischen Koordinatensystemen zum Rechts- bzw. Hochwert addiert werden. um die Koordinatenwerte für einen bestimmten Bereich innerhalb einer Projektion möglichst übersichtlich zu gestalten.

Beispiel

Das Koordinatensystem der ÖK 1:50000 hat seinen Ursprung am Schnittpunkt des jeweiligen Mittelmeridians mit dem Äquator, d.h. der Hochwert (y) entspricht dem Abstand eines Punktes vom Äquator. Innerhalb Österreichs treten y-Werte zwischen ca. 5130000 und 5430000 Meter auf. Um bei Koordinatenangaben (Schreib)Arbeit zu sparen gibt man einen False Northing Wert von -5000000 an, d.h. man subtrahiert von jeder y-Koordinate 5000000 Meter um bei Koordinatenangaben kleinere Zahlenwerte zu bekommen.

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Aufgabe

Aufgabe Projektionsparameter

   

13.3 Projektionseigenschaften

Wie wir bereits im "Orangenvideo" gesehen haben, sind geometrische Verzerrungen bei der Verebnung sphärischer Oberflächen unvermeidlich. Verschiedene Projektionen zeichnen sich nun dadurch aus, dass sie einzelne geometrische Eigenschaften "originalgetreu" wiedergeben können, was jedoch immer auf Kosten anderer geometrischer Eigenschaften geht. Stimmen beispielsweise die Größenproportionen von Flächen in der Karte mit denen in der Natur überein, so kommt es "im Ausgleich dazu" zu Deformationen bei der Flächenform.

Hinweis

Da keine einzige Projektion alle geometrischen Eigenschaften erhalten kann (beim Erhalt einer Eigenschaft spricht man auch von "Treue"), richtet sich die Wahl einer geeigneten Projektion danach, welche geometrischen Eigenschaften im speziellen Anwendungsfall besonders relevant sind. Die Auswahl einer Projektion stellt also immer einen Kompromiss dar, wobei die Abwägung zwischen zu erhaltenden Eigenschaften umso wichtiger wird, je weiter man sich von Schnitt- bzw. Berührkreisen entfernt, d.h. je größer das darzustellende Gebiet ist.

   

Projektionen können folgende geometrische Eigenschaften aufweisen:

  • Längentreue
    Eine in der Karte gemessene Entfernung ergibt multipliziert mit dem Maßstabsfaktor die wahre Distanz in der Natur. Meist liegt diese Eigenschaft nur entlang von Berührungs- bzw. Schnittlinien oder in bestimmten Richtungen vor.
  • Flächentreue
    Eine in der Karte gemessene Fläche entspricht, nach Berücksichtigung des Maßstabs, dem Flächenausmaß in der Natur.
  • Winkeltreue (Konformität)
    Ein in der Karte bestimmter, lokaler Winkel stimmt mit dem lokalen Winkel an der Erdoberfläche überein. Diese Eigenschaft führt auch zur lokalen (!) "Formtreue" von Flächenkonturen.
  • Richtungstreue
    Die in der Karte zu einem Punkt bestimmte Richtung entspricht der tatsächlichen Richtung in der sich der Punkt befindet.
  • Vermittelnde Projektionen
    Projektionen aus dieser "Familie" versuchen Verzerrungen in allen vier geometrischen Eigenschaften gering zu halten, um ein für den Kartenzweck optimiertes Ergebnis zu erreichen.

Im folgenden werden wir uns im Einzelnen mit diesen Projektionseigenschaften beschäftigen. Im Zuge dessen lernen Sie (z.T. optional) auch einige gängige Projektionen näher kennen.

   

Längentreue

"Wenn du die Entfernung zwischen zwei Punkten bestimmen willst, dann nimm die Karte und ein Lineal zur Hand und multipliziere das Messergebnis mit dem Maßstabsfaktor der Karte..."
So habe ich das zumindest im Geographieunterricht gelernt...!? Dass es in vielen Fällen nicht ganz so einfach ist, soll folgende kleine "Denkaufgabe" zeigen:

Zum nachdenken

Die Distanz zwischen den Punkten A und C sowie zwischen C und D beträgt jeweils ca. 10.000 Kilometer.
Wie groß ist die Distanz zwischen A und D?
Bewegen Sie den Mauszeiger über das Bild um die Lösung zu erhalten.

Längentreue

   

Generell ist es unmöglich eine Karte zu erstellen, die in allen Richtungen und zwischen allen Punkten längentreu ist. Daher spricht man anstatt von "Längentreue" besser von "partieller Längentreue".

optionalLängentreue Azimutalprojektion

Im Gegensatz zu anderen längentreuen Projektionen, deren Längentreue sich auf gewisse Richtungen beschränkt, können in einer längentreuen Azimutalprojektion (Equidistant Azimuthal) wahre (=sphärische) Distanzen in alle Richtungen bestimmt werden. Allerdings nur von einem einzigen Punkt aus, nämlich dort, wo die Projektionsebene die Erdoberfläche berührt. Aus diesem Grund muss diese Projektion für jeden Punkt, von dem aus man sphärische Distanzen messen möchte "maßgeschneidert" werden. Die hier dargestellte Projektion ist etwa für Salzburg längentreu.

Längentreue Azimutalprojektion Längentreue Azimutalprojektionen können nicht nur eine Hemisphäre, sondern die gesamte Erde abbilden. Allerdings nehmen dann die Formverzerrungen zum Kartenrand hin sehr stark zu. Betrachtet man die Projektion in ihrer polaren Lage wird klar, warum sie auch "Speichentreu" genannt wird. An den konstanten Breitenkreisabständen wird deutlich, dass in dieser Lage die Länge der Meridiane gleich bleibt.

Zusätzlich zur Eigenschaft der Längentreue ist diese Projektion im Bezugspunkt (und nur dort!) auch richtungstreu, d.h. es lässt sich die Himmelsrichtung (Exkurs: Das Problem der Himmelsrichtung) bestimmen in der ein Punkt vom Bezugspunkt aus liegt. Aufgrund dieser Eigenschaft werden alle Großkreise durch den Bezugspunkt als Geraden dargestellt. Die Eigenschaft der Richtungstreue ist besonders für Navigationszwecke wichtig. So kann man der obigen Abbildung nicht nur entnehmen wie weit die (direkte) Flugstrecke zwischen Salzburg und jedem beliebigen anderen Ort ist, sondern auch über welche Gegenden die Flugroute führt.

Sie können dieses Beispiel leicht mit dem bereits in der Übung XXXLINKXXX Loxodrome eingesetzten Programm globe.exe nachspielen, wenn Sie im Menü Projection "Equidistant Azimutal" einstellen. Mit der rechten Maustaste legt man den Bezugspunkt fest, mit der gedrückten linken erstellt man eine Flugroute. Nur Routen die durch den Bezugspunkt verlaufen bilden Gerade!

Der Einsatzbereich längentreuer Azimutalprojektionen liegt vor allem in der Navigation, im Bereich des Richtfunks, aber auch in der Darstellung polarer Gebiete.

Das Logo der Vereinten Nationen bildet die Erde in einer polständigen, längentreuen Azimutalprojektion ab. Die bis zur Unkenntlichkeit deformierte Antarktis wird hier durch einen Lorbeerkranz ersetzt.

 

optionalLängentreue Zylinderprojektion

Die längentreue Zylinderprojektion (Cylindrical Equidistant, Cylindrical Equirectangular, Plane Chart) weist Längentreue nur entlang des Äquators und entlang der Meridiane auf. Bei Distanzmessungen mit einer Ost-, Westkomponente wird der Maßstab jedoch rasch größer, wenn man sich vom Äquator in Richtung Nord-, bzw. Südpol bewegt. Die größten horizontalen Distanzabweichungen bestehen direkt an den Polen, die in der Karte als Linien mit der Länge des Äquators dargestellt sind.

Längentreue ZylinderprojektionEine längentreue, am Äquator berührende Zylinderprojektion mit dem Ursprung bei 0,0 wird auch als "Plate Carree" bezeichnet. Längen- und Breitenangaben werden dabei so dargestellt, als handle es sich um kartesische Koordinaten. Diese einfachste planare Darstellungsform sphärischer Koordinaten wird in den meisten GI-Systemen zur Standarddarstellung unprojizierter Geodaten eingesetzt (Einstellung "no projection" bzw. "geographic").

Karten können lügen: Mercatorprojektion
Diese, zur Zeit des Kalten Krieges in der USA bewusst eingesetzte Weltkarte in Mercatorprojektion zeigt, wie sich durch die "geschickte" Wahl einer Projektion das feindliche Territorium bedrohlich vergrößert.

Zum Vergleich: Mollweides flächentreue Weltkarte rückt die Flächenverhältnisse ins richtige Licht. Beachten sie auch die Flächen von Grönland und Afrika!

 

Flächentreue

Flächentreue, also die Bewahrung der erdräumlichen Flächenproportionen über das gesamte Kartenblatt hinweg, wird bei der Darstellung mittel- und kleinmaßstäbiger Sachverhalte am häufigsten benötigt. Flächentreue ist immer dann wichtig, wenn das Hauptaugenmerk der Kartenaussage auf den Größenverhältnissen von Flächenobjekten liegt. Das trifft vor allem bei Karten zu, welche die flächige Verteilung von Attributen (z.B. Landnutzung, Niederschlagsverteilung, Bevölkerungsdichte) kommunizieren sollen.

In solchen Fällen führt die Wahl einer ungeeigneten Projektion unter Umständen zu einer völlig falschen Interpretation der Sachlage! Der Umstand, dass Karten durch Verfälschung von Flächenproportionen "lügen" können, wurde schon öfters zu Propagandazwecken missbraucht.

optionalLamberts flächentreue Azimutalprojektion

Diese flächentreue Azimutalprojektion wurde von Johann Heinrich Lambert 1772 vorgestellt. In der Nähe des Berührpunktes unterscheidet sie sich kaum von der bereits vorgestellten längentreuen Azimutalprojektion. In der äußeren Hälfte des Kartenblattes (gegenüberliegende Hemisphäre) nimmt die Längentreue jedoch rapide ab, um die Flächenproportionen erhalten zu können. Dadurch kommt es zu enormen Stauchungen in diesem Bereich und die Antarktis wird in dieser Lage zu einem dünnen Ring. Lamberts flächentreue Azimutalprojektion (Lambert azimuthal equal-area) wird vor allem zur Darstellung von Regionen verwendet, die eine kompakte Form besitzen.
Im Gegensatz zur orthographischen, gnomonischen und stereographischen Azimutalprojektion deren Abbildungsvorschrift mit einer simplen Durchleuchtung der Erde beschrieben werden kann, handelt es sich bei der flächentreuen und der längentreuen Azimutalprojektion um mathematische Ableitungen, die nicht mehr durch einfaches "Versetzen" einer Lichtquelle erklärt werden können.

optionalAlbers flächentreue Kegelprojektion

Die Konstruktion von Albers flächentreuer Kegelprojektion (Albers equal-area conic) kann man sich so vorstellen, dass Lichtstrahlen von der Erdoberfläche ausgehen und rechtwinkelig auf den Projektionskegel auftreffen.
Längentreu ist diese Projektion nur entlang der Schnittkreise; die geometrischen Verzerrungen halten sich in der Nähe der Schnittkreise aber in Grenzen.
Eignung: für thematische Karten von Regionen mit ausgeprägter Ost-West Erstreckung.

optionalEckert IV

Diese Projektion eignet sich wie die Mollweide- Projektion zur globalmaßstäblichen Darstellung thematischer Inhalte.


Flächentreue Planisphäre 1906 von Max Eckert entwickelt

 

Gerhard Kremer bei der Arbeit
Gerardus Mercator (1512-1594)

  • Interessanter Bericht über Mercators Zeit und Leben
 

Winkeltreue (Konformität)

Eine konforme Projektion erhält lokale Winkel, sodass die Form kleiner Objekte erhalten bleibt. Innerhalb einer winkeltreuen Projektion variiert zwar der Maßstab, das Ausmaß der Distanzverzerrung an einem beliebigen Punkt ist jedoch in alle Richtungen gleich.
Winkeltreue Projektionen sind im Bereich der Navigation sehr wichtig, da sie Loxodrome (Kurslinien) als Gerade darstellen. Mit einer konformen Karte lässt sich zwar nicht die Richtung bestimmen in der ein gewisser Zielpunkt liegt, dafür aber derjenige Azimut, bei dessen Beibehaltung man diesen Zielpunkt auch erreicht (Exkurs: Das Problem der Himmelsrichtung). Wie Sie bereits aus der Lektion "Koordinatensysteme" wissen, entspricht der dabei zurückgelegte Weg aber meist nicht dem kürzesten Weg. Dieser verläuft entlang eines Großkreises und erfordert eine ständige Kurskorrektur.

optionalMercatorprojektion

Der flämische Kartograph Gerhard Kremer veröffentlichte 1569 einen Atlas unter seinem latinisierten Namen Gerardus Mercator. Die darin verwendete konforme Zylinderprojektion stellte für Generationen von Seeleuten eine beträchtliche Erleichterung der Navigation dar und zählt noch heute zu den wichtigsten Projektionen.
MercatorprojektionIn ihrer normalen Lage bildet die Mercatorprojektion fast die gesamte Erde ab. Gebiete über 80°-85° Breite werden meist nicht mehr dargestellt, da die Verzerrungen in Richtung der (in der Unendlichkeit liegenden) Pole sehr stark zunehmen. Die Eignung beschränkt sich daher auf außerpolare Gebiete.
Leider wird die Mercatorprojektion nach wie vor für Übersichtskarten der Erde verwendet - eine Anwendung wofür sie aufgrund der extremen Flächenverfälschung absolut ungeeignet ist. Die Form kleinerer Flächen bleibt zwar erhalten, bei größeren Gebieten führt jedoch der sich zu den Polen hin vergrößernde Maßstab zu Formveränderungen. In der Nähe von Schnitt- bzw. Berührkreisen ist die geometrische Qualität in allen Eigenschaften zufriedenstellend.
Heute wird vor allem die transversale Spielart der Mercatorprojektion verwendet. So beruhen beispielsweise die großmaßstäbigen topographischen Karten Österreichs (ÖK 1:50,000) und Deutschlands (TK 1:25,000) auf einer transversalen Mercatorprojektion. Die Schweiz verwendet für ihre Grundkarte sogar eine schieflagige Mercatorprojektion.

optionalLamberts winkeltreue Kegelprojektion

Lamberts winkeltreue KegelprojektionWie alle Kegelprojektionen eignet sich Lamberts winkeltreue Kegelprojektion (Lambert conformal conic) besonders für Karten von Regionen mit ausgeprägter Ost-West Erstreckung. Natürlich steht bei dieser Projektion die Winkel-, bzw. Formtreue im Vordergrund. So werden etwa auf untenstehender Europakarte die Form der Staaten korrekt wiedergegeben, die Flächenanteile einzelner Staaten bleiben jedoch nicht erhalten. Im Vergleich dazu erhält Albers flächentreue Kegelprojektion die Flächen, verändert aber deren Form.
Solche Unterschiede sind umso auffälliger, je weiter man sich von den Schnittkreisen (in beiden Fällen der 43. und der 62. Breitengrad) entfernt.
Lamberts winkeltreue Kegelprojektion wird in der amtlichen Kartographie Österreichs und Deutschlands für kleinmaßstäbige Übersichtskarten verwendet. Näheres zu Projektionen in der Landesvermessung und amtlicher Kartographie erfahren sie in der nächsten Lektion.

   

Richtungstreue

Richtungstreue (=zenitale) Karten ermöglichen die Richtungsbestimmung zwischen zwei Punkten, d.h. diejenige Richtung die man anpeilen müsste, um auf direktem Weg (Großkreissegment) von A nach B zu gelangen. Leider bezieht sich "Richtungstreue" nicht auf das gesamte Kartenblatt, sondern nur auf den Berührpunkt, was schon darauf hinweist, dass es sich bei richtungstreuen Projektionen vor allem um Azimutalprojektionen handelt. Durch den Berührpunkt verlaufende Großkreise werden als Geraden dargestellt. Falls Íhnen der Unterschied zwischen Richtungstreue und Winkeltreue noch nicht ganz klar ist - hier noch mal der Verweis auf den Exkurs zum Problem der Himmelsrichtung.
Anwendung finden richtungstreue Projektionen überall dort, wo kürzeste Wege oder geradlinige gerichtete Ausbreitung eine Rolle spielen. Früher wurden etwa Schiffsrouten zuerst auf einer richtungstreuen Karte als Gerade eingezeichnet und anschließend in eine winkeltreue Karte übertragen. Aus dieser konnten dann die während der Fahrt notwendigen Kurskorrekturen einfach abgelesen werden. Im Bereich des Richtfunks finden richtungstreue Karten Verwendung um Richtfunkantennen auf definierte Orte hin auszurichten.

optionalGnomonische Azimutalprojektion

gnomonische Projektion (Berührpunkt = Salzburg) Die gnomonische Azimutalprojektion (gnomonic, central azimuthal projection) ist zwar auch nur im Berührpunkt richtungstreu, im Gegensatz zur längentreuen Azimutalprojektion werden hier aber sämtliche Großkreise zu Geraden - also auch jene, die nicht direkt durch den Berührpunkt verlaufen. Aufgrund dieser speziellen Eigenschaft kann der Routenverlauf des kürzesten Weges zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Karte festgestellt werden. Leider werden alle anderen Projektionseigenschaften extrem verzerrt. Es ist also beispielsweise nicht möglich die Länge der kürzesten Wege zu bestimmen. Außerdem kann als Folge der Zentralprojektion nicht einmal eine Hemisphäre vollständig dargestellt werden.

Sie können die großkreiserhaltende Eigenschaft wiederum gut mit Programm globe.exe nachvollziehen. Wählen sie im Menü Projection "Polar Gnomonic" aus. Hier werden sämtliche Flugrouten als Geraden dargestellt!

 

 

 

Vermittelnde Projektionen

Während die meisten Projektionen darum bemüht sind eine oder mehrere geometrische Eigenschaften der Erdoberfläche zu erhalten, sind einzelne Projektionen dahingehend konzipiert, auf Kosten "genereller Untreue" alle geometrischen Verzerrungen zu minimieren. Solche "vermittelnde" Projektionen sind zwar in keiner einzigen Eigenschaft treu und daher für Messungen auf der Karte ungeeignet, sie eignen sich jedoch gut zur ästhetischen Visualisierung der gesamten Erde. Es handelt sich dabei also um einen Kompromiss, der, insgesamt gesehen, ein möglichst authentisches "Bild" der Erde liefert, auch wenn dieses Bild in allen Einzelbereichen falsch ist.

Winkel Tripel Projektion Die vermittelnde Winkel Tripel Projektion. Mehr dazu finden Sie unter anderem hier Link.

optionalRobinson Projektion

Diese Projektion wurde 1963 von Arthur H. Robinson vorgestellt. Ihre Konstruktion basiert nicht auf mathematischen Formeln, sondern auf Tabellen, in denen jedem sphärischen Koordinatenpaar ein planares Koordinatenpaar zugeordnet wird. Da diese Planisphäre ein ansprechendes, optisch "richtiges" Bild der Erde vermittelt, wird sie gerne in Atlanten und an Schulen verwendet. Robinson Projektion Auch die National Geographic Society verwendete zwischen 1988 und 1998 die Robinson Projektion für ihre Weltkarten. 1998 wechselte sie jedoch zur ebenso vermittelnden Winkel Tripel Projektion, die ein noch etwas besseres Verhältnis von Formverzerrung zu Flächenverzerrung aufweist.

   

Visualisierung von Projektionseigenschaften

Um Art und Ausmaß geometrischer Verzerrungen in Kartennetzentwürfen abschätzen zu können, entwickelte der französische Mathematiker Nicolas Auguste Tissot im 19. Jahrhundert einen Indikator, der die Eigenschaften einer Projektion an einem Punkt ermittelt: die Tissot-Indicatrix.
Die Tissot-Indicatrix zeigt, wie ein kleiner Kreis auf der Erdoberfläche in der Karte aussehen würde. Da dieser Kreis zu klein ist, um auf der Karte sichtbar zu sein, wird er stark vergrößert dargestellt. Vergleicht man die Größe und Form des durch die Projektion deformierten Kreises mit einem Referenzkreis, wird die Art und das Ausmaß der Deformation an einem bestimmten Punkt deutlich. Weiters lassen sich aus der Indicatrix auch Maßzahlen ableiten, um Deformationen auch quantitativ erfassen und vergleichen zu können. Nachdem das Ausmaß geometrischer Verzerrungen innerhalb einer Projektion lokal variiert, wendet man die Indicatrix meist an mehreren Punkten an. So bekommt man einen guten Überblick über die räumliche Variation der Deformationsintensität.

Indicatrix auf Mollweide
Tissot-Indicatrix auf einer Mollweide-Projektion. Man sieht deutlich, dass die Formverzerrungen zum Rand hin zunehmen. Da es sich um eine flächentreue Projektion handelt, stimmt der Flächeninhalt von Indikatrix und Referenzkreis an jedem Punkt überein.

In der nachfolgenden Übungen können Sie die Verzerrungen je Projektion mit Hilfe von Kreisen selbst erkunden. Alternativ kann auch auf folgendes Webtool Link zurück gegriffen werden:

webtool

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Übung

Übung Verzerrungen

   

Kriterien zur Wahl einer Projektion

Obwohl die Wahl einer geeigneten Projektion nun kein unüberwindbares Problem mehr darstellen sollte, hier ein paar Überlegungen, die bei der Entscheidung für eine bestimmte Projektion eine Rolle spielen:

1. Bestehende Bezugssysteme

In sehr vielen GIS-Projekten stellt sich die Frage nach der "Zielprojektion" erst gar nicht, da diese bereits von dem Auftraggeber / der Auftraggeberin spezifiziert wurde. Ansonsten macht es, insbesondere im großmaßstäbigen Bereich, Sinn, das jeweils "amtliche" räumliche Bezugssysteme oder Standards wie UTM zu verwenden.

2. Das primäre Anwendungsgebiet der Karte

Die zu erhaltenden geometrischen Eigenschaften werden vom Zweck einer Darstellung bestimmt:

  • Die Verteilung oder Verbreitung eines Phänomens wird vorzugsweise in einer flächentreuen Projektion dargestellt.
  • Karten für Navigationszwecke sind, je nach Einsatzbereich, winkeltreu, richtungstreu und/oder längentreu.
  • Übersichtskarten auf mittlerem Maßstabsniveau sind meist winkeltreu.
  • Für Weltkarten, die insgesamt ein möglichst "realistisches" Bild der Erde wiedergeben sollen, eignen sich vermittelnde Kartennetzentwürfe.

3. Die Größe des abzubildenden Gebietes

Die Abbildungsunterschiede verschiedener Projektionen werden um so bedeutender, je weiter man sich von Berühr- bzw. Schnittlinien entfernt. Daher ist die Entscheidung für eine bestimmte Projektion um so kritischer, je größer das betreffende Gebiet ist.

4. Die Lage des abzubildenden Gebietes

Vor allem für mittel- und kleinmaßstäbige Karten gilt folgende Faustregel, die sich aus der Passung der Projektionskörper an die Erdoberfläche ergibt:

  • Azimutalprojektionen für polare Gebiete
  • Kegelprojektionen zur Abbildung mittlerer Breiten
  • Zylinderprojektionen für äquatoriale Bereiche

5. Die Form des abzubildenden Gebietes

Auch die Gebietsform ist nur bei mittel und kleinmaßstäbigen Karten von Bedeutung:

  • Azimutalprojektionen bei eher kompakter Gebietsform
  • Kegel- bzw. Zylinderprojektionen bei Gebieten mit großer Ost-West Erstreckung
  • Transversale Zylinderprojektionen bei schmalen Gebieten mit großer Nord-Süd Erstreckung

 

webmercator

  • Ausführliche Übersicht über die Implikationen der Web-Mercatorprojektion
 

Anmerkungen zur Kartendarstellung im Web

Außerhalb der Nautik Link, wird die Mercatorprojektion, beispielsweise für Lehrbücher und Atlanten, kaum mehr verwendet. Grund dafür ist vor allem die oben beschriebene extreme Flächenverzerrung in hohen Breiten. Dass die Mercatorprojektion dadurch aus der allgemeinen Wahrnehmung verschwinden würde, war eine lang gehegte Annahme (oder Wunsch, siehe Arno Peters Link), die sich alles andere als erfüllte. Vielmehr wurde die Mercatorprojektion im Internet als Web-Mercator (EPSG 3857 Link) gewissermaßen wiedergeboren. Treiber dieser Renaissance war Google mit der Veröffentlichung des Kartenservices Google Maps in 2005. Seither basiert die Darstellung praktisch aller Kartendienste im Web (von Google über Microsoft bis OpenStreetMap Link) auf dieser, auch Pseudo-Mercator genannten, Projektion.

Dass es sich um eine Pseudo-Mercatorprojektion handelt, ist dem Umstand geschuldet, dass die Koordinaten zwar, wie bei der gewöhnlichen Mercatorprojektion, auf ein standardisiertes Bezugsellipsoid (WGS 84) bezogen, aber, aus Performancegründen, auf eine Kugel projiziert werden. Dadurch kommt es, im Vergleich zu einer gewöhnlichen Mercatorprojektion, zu mitunter signifikanten Lageabweichungen, abhängig von der Entfernung vom Äquator. Bei kleinmaßstäbigen Weltkarten spielt der Unterschied keine große Rolle; sichtbar werden die Abweichungen bei großmaßstäbigen Darstellungen in hohen Breiten (beispielsweise Alaska).

Durch die enorm hohe Durchdringungsrate von Anwendungen, die auf den genannten Web-Kartendiensten beruhen, gibt es, trotz aller Nachteile, kaum geeignete Alternativen zur Web-Mercatorprojektion. Umso wichtiger ist es, über die Vor- und Nachteile informiert bzw. dafür sensibilisiert zu sein.

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