2.5 TIN: Triangulated Irregular Network

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Triangulierte unregelmäßige Netze (TIN) stellen eine bedeutende Alternative zur rasterbasierten Modellierung kontinuierlicher Oberflächen dar. Zahlreiche Softwareprodukte stützen sich auf Varianten der TIN-Struktur, insbesondere auch zur Lösung konstruktiver Aufgaben wie Isoplethenkonstruktion und Volumensberechnung.

Triangulated Irregular NetworkEin TIN ist das Modell einer Oberfläche aus einer Anzahl von Punkten, die zu Dreiecken vernetzt werden (Triangulation).

„Triangulation“ bezieht sich auf die Bildung einer optimierten Menge von Dreiecksflächen aus Punkten. Die Grundfigur des Dreiecks eignet sich besonders gut zur Darstellung von Oberflächen, da:
•  jedes Vieleck auf Dreiecke reduziert und somit jede Fläche lückenlos ausgefüllt werden kann
• drei Punkte mit z-Werten im Raum immer eine
  planare Fläche ergeben.

MassenpunkteBasis dieser Dreiecke sind unregelmässig verteilte Stützpunkte mit jeweils einem z-Wert. Für jeden Ort innerhalb der Dreiecksflächen können z-Werte durch Interpolation geschätzt werden.

Irregular“ weist auf einen wesentlichen Vorzug von TIN zur Oberflächenmodellierung hin: die Stützpunkte können in variabler Dichte derart ausgewählt werden, dass sie die zu modellierende Oberfläche möglichst gut repräsentieren (z.B. Gipfel, Senken und Sättel, Geländekanten oder Hangfüsse).

TIN-ModellJedes Dreieck speichert topologische Informationen über seine benachbarten Dreiecke. Damit entsteht ein Netzwerk, das sich hervorragend für jede Art von Oberflächenanalysen eignet.

 

Der Vorteil einer solchen Netzwerkstruktur gegenüber regelmässigen Rastern besteht in der hohen Abbildungsqualität der Oberfläche bei wesentlich geringerer Punktezahl. Dieser Vorteil muß allerdings durch eine aufwendigere Speicherstruktur und kompliziertere Verarbeitungsalgorithmen erkauft werden.

TINs sind für grossmaßstäbige Anwendungen geeignet, bei denen es auf eine detaillierte Oberflächenbeschreibung und grosse Lagegeauigkeit ankommt.

TIN Struktur

In der TIN-Terminologie werden Dreiecksflächen als Facetten, die Seiten als Kanten und Stützpunkte als Knoten bezeichnet.

Nehmen wir die einzelnen Bausteine genauer unter die Lupe:

Definition von Stützpunkten

Die Basis für TINs bilden Stützpunkte, die im günstigsten Fall direkt gemessene Originaldaten darstellen, oft jedoch zumindest teilweise aus bestehenden Rastermodellen extrahiert sind. Ein großer Vorteil von TINs besteht darin, dass Daten unterschiedlicher Herkunft gut kombiniert werden können, sofern sie eine ähnliche attributive Qualität (z-Wert) und vor allem keinen Versatz in der Lage zueinander aufweisen. So können beispielsweise regelmäßige Rasterdaten als Basis mit detailliert vermessenen Geländekanten und lokal vorliegenden Laserscanning-Daten kombiniert werden.

Der erste Schritt beim Aufbau eines TIN besteht darin, charakteristische Punkte zu finden, die die zu modellierende Oberfläche möglichst gut repräsentieren. Im Kontext von Geländemodellen sind dies häufig Gipfel, Senken und Sättel, dann auch Punkte entlang von Kämmen und Tälern oder charakteristische Geländeformen (Geländekanten, Hangfuß).

   
Beispiel

Gaisberg Höhenmodell
               

Beobachten Sie, wie sich die Dreieckskanten (und damit auch die Knoten) im TIN an den angesprochenen Geländeformen orientieren. Beachten Sie den Verlauf von Bergkämmen und Tälern!
   
   

Liegen keine direkten Messungen vor, lassen sich diese für die Geländemodellierung wichtigen Punkte mit dem höchsten Informationsgehalt auch aus Punktrastern ableiten. Im Folgenden wird der Ansatz nach FOWLER und LITTLE und der Ansatz der Very Important Points diskutiert:


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Ansatz nach Fowler und Little

Voraussetzung für folgenden Algorithmus zur Ermittlung wichtiger Geländepunkte — nach seinen Erfindern Fowler und Little benannt — ist ein dichtes Höhenraster als Datenquelle.

   
   

Knotenextraktion -- als Vereinfachung bei der Suche nach geeigneten Stützpunkten stellen wir uns die Oberfläche als ein Raster vor, das aus höhergelegenen ('+') niedrig gelegenen (-) und neutralen ('0') Punkten besteht.

Bewegen Sie den Mauszeiger über die Ziffern 1-3, die auf die jeweiligen Mittelpunkte einer 3*3 Matrix verweisen.

Kamm- und Talpunkte
Kammverlauf und Täler -- Um Kämme und Täler zu identifizieren, betrachten wir die im 3*3 - Fenster enthaltenen vier 2*2 Fenster. Sie werden feststellen, dass Punkte an Kämmen in keinem der 2*2 Fenster die niedrigste, und Punkte entlang Tälern in keinem der 2*2 Fenster die höchste Höhe haben.

digitale GeländeskizzeDigitale Geländeskizze -- In weiterer Folge werden, ausgehend von Sätteln, Kamm-Punkte bis zu Gipfeln, und Tal-Punkte bis in Senken verfolgt, sodass eine „digitale Tal- und Kammverlaufsskizze“ des Geländes entsteht, aus der nach Hinzufügen weiterer signifikanter Punkte ein hochwertiges TIN konstruiert werden kann.

Nachteile dieser Vorgangsweise sind ihr vergleichsweise hoher Rechenaufwand und die Schwierigkeit ohne manuelle Nachbearbeitung ein zufriedenstellendes Oberflächenmodell zu erzielen. Aus diesem Grund wird in der praktischen Anwendung vielfach ein wesentlich einfacherer Algorithmus mit der Bezeichnung VIP (Very Important Points) verwendet.

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Very Important Points

d = 15Beim Ansatz der VIP werden im Gegensatz zu Fowler & Little nicht Strukturlinien sondern ausschließlich Punkte herangezogen, die insofern "signifikant" sind, indem sie von ihrem Umfeld abweichen: Aus der näheren Umgebung jedes Rasterpunktes wird durch Mittelung (z.B. lineare Regression) eine Schätzfläche berechnet. Weicht der tatsächliche Wert eines Punktes im Raster vom geschätzten Wert um mehr als einen vorgegebenen Schwellwert (d) ab, wird der Punkt als signifikant erachtet und zur Triangulation herangezogen (B), andernfalls wird er ignoriert (A). Im Beispiel sei der Schwellwert d=17.

Durch dieses Verfahren lässt sich eine Reihung der Punkte nach ihrer Signifikanz durchführen und somit kann auch mit einer gewünschten Stützpunktezahl zur Aufnahme in das TIN operiert werden.

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Setzen Sie hier den Schwellwert d um die Anzahl der VIPs und damit Auflösung und Datenvolumen des TINs zu steuern. Ebenfalls integrierbare Bruchkanten werden im nächsten Abschnitt behandelt.

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Dreiecksvermaschung

DreiecksvermaschungBei der Dreiecksvermaschung (Triangulation) werden die in den vorangegangenen Schritten gewonnenen signifikanten Stützpunkte so mit Linien verbunden, dass Dreiecke entstehen. Aus der Abbildung rechts wird deutlich, dass es für die vier Punkte zwei verschiedene Triangulationsmöglichkeiten gibt. Eine grundlegende Idee geht davon aus, dass die Genauigkeit von Oberflächen an gemessenen Stützpunkten am größten ist, daher jeder Punkt in einem Dreieck einem Stützpunkt möglichst nahe sein soll. Genau diese Eigenschaft wird von möglichst gleichseitigen Dreiecken am ehesten gewährleistet.

Delaunay-TriangulationDie Delaunay-Triangulation [sprich: delonä'] ergibt optimal kompakte Dreiecke und ist daher in praktisch allen Systemen implementiert. Definitionsgemäß bilden drei Punkte genau dann ein Delaunay-Dreieck, wenn ein durch diese drei Punkte bestimmter Kreis keinen anderen Stützpunkt einschließt. Da die definitionsgemäße Umsetzung des Delaunay-Ansatzes rechentechnisch aufwendig ist, geht man meist von Thiessenpolygonen als Konstruktionsalgorithmus aus: Zwei Punkte sind dann mit einer Dreieckskante zu verbinden, wenn ihre Thiessenpolygone eine gemeinsame Kante/Grenzlinie aufweisen.

   
Beispiel
Triangulation mittels Thiessenpolygonen

Thiessenpolygone (diese werden Ihnen im Studium noch öfter begegnen) grenzen diejenige Fläche um einen Punkt ab, innerhalb derer der betreffende Punkt der jeweils nächste Nachbar ist. Sie werden konstruiert, indem

  1. eine konvexe Hülle (kleinstes Polygon, das die gesamte Punktwolke umschließt) um die Punktwolke gelegt wird.
  2. Anschließend werden zwischen den Punkten mögliche Verbindungen hergestellt und deren Streckensymetralen konstruiert. Diejenigen Verbindungen deren Streckensymetralen zur Bildung eines den Punkt umschließenden (Thiessen)polygons herangezogen werden, bleiben
  3. als endgültige Triangulation bestehen. Verbindungen deren Symetralen nicht zu Thiessenpolygonen beitragen, werden verworfen.

Im unten gezeigten Beispiel werden die Knoten nacheinander trianguliert um die Übersichtlichkeit zu bewahren. Es spielt für das Ergebnis keine Rolle ob zuerst alle Thiessenpolygone konstruiert werden, und dann eine Triangulation erfolgt, oder ob man Punkt für Punkt vorgeht.

   
 

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TIN-Topologie

Eine Besonderheit der TIN-Datenmodells ist, dass es für die Speicherung zwei prinzipielle Alternativen gibt. Während die Speicherung als Fläche hervorragend für flächenbezogene Analysen geeignet ist (Hangneigung, Oberflächenabfluss), sind andere Aufgaben wie z.B. die Konstruktion von Isoplethen besser mit punktbezogener Speicherung zu lösen. Allerdings sind beide Repräsentationen strukturell ähnlich und leicht voneinander abzuleiten.

Flächentopologie — TIN als Dreiecksflächen speichert eine Identifikation („Name“) zu jeder Dreiecksfacette, ein Koordinatentripel (x, y, z) der drei Knoten und eine Liste mit den Namen der benachbarten Dreiecke. Da jeder Knoten mehreren Dreiecken angehört (im Durchschnitt sechs), ist es effizienter, mit einer gesonderten Knotentabelle zu arbeiten, und in der Dreieckstabelle nur jeweils die Knoten-Identifikationsnummern zu referenzieren.

   
   

Knotentopologie — Gespeichert werden die Identifikation („Nummer“) des Knotens, seine x-, y- und z-Wert (in der Abbildung nicht dargestellt) sowie die Identifikationsnummern seiner Nachbarn (mit TIN-Kantenverbindungen) im oder gegen den Uhrzeigersinn.

Allgemein ähnelt die Topologie in TIN der einer planaren Geometrie. Im Unterschied dazu besitzt jeder Knoten einen Höhenwert und die Flächen sind Dreiecke anstelle beliebiger Polygonformen.

   
Übung

Übung TIN-Flächentopologie

   

Übung TIN-Strukturskizze

   
   
   
   
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